Velocità di deriva

In elettrodinamica, la velocità di deriva è la velocità limite raggiunta da una particella carica — tipicamente un elettrone — quando è immersa in un campo elettrostatico. Attribuendo a ciascun punto dello spazio un vettore velocità, questa grandezza può essere descritta matematicamente come un esempio di campo vettoriale.

All'interno di un conduttore elettrico sottoposto a una differenza di potenziale, le cariche non si muovono in modo casuale, ma danno luogo a un moto collettivo uniforme: proprio questa velocità media ordinata è la velocità di deriva.

L’intensità della densità di corrente elettrica generata da tale moto è espressa dalla relazione:

$\overrightarrow{j}=\rho {\overrightarrow{u}}_{\mathrm{\infty }}$

dove j⃗ rappresenta la densità di corrente e ρ la densità di carica elettrica.

Utilizzando il modello di Drude, viene espressa la legge di Ohm più concisamente come la relazione microscopica vettoriale fra velocità di deriva dei portatori di carica e campo elettrico:

$\overrightarrow{u}=\mu \overrightarrow{E}$

Qua il simbolo $\mu$ rappresenta la mobilità elettrica (in m²/(V⋅s)), mentre $\overrightarrow{E}$ è il campo elettrico (espresso in V/m).

Moltiplicando entrambi i membri per la densità di carica elettrica, si ritrova la legge di Ohm nella forma microscopica più consueta:

$\overrightarrow{j}=\sigma \overrightarrow{E}$

dove la lettera greca $\sigma$ rappresenta la conducibilità elettrica.

Modello di Drude

Come spiegato dal fisico tedesco Paul Drude nel suo modello, i portatori di carica si muovono nel conduttore come in un mezzo molto viscoso. Secondo i principi della meccanica del punto, quando la viscosità del sistema è molto elevata, esso raggiunge rapidamente una condizione stazionaria in cui la velocità di flusso $\mathbf{u}$ tende alla velocità limite ${\mathbf{u}}_{\mathrm{\infty }}$, nota in questo contesto come velocità di deriva. In tali condizioni, la fase di accelerazione iniziale è così breve da poter essere considerata trascurabile.

Dal punto di vista della dinamica del punto materiale, in regime stazionario, la forza elettrostatica esercitata sul portatore di carica — data da $e\mathbf{E}$, dove $\mathbf{E}$ è il campo elettrico locale e $e$ la carica elettrica del portatore (solitamente un elettrone) — è bilanciata dalla forza d’attrito viscoso che si oppone al moto, espressa come $-\frac{m_e\mathbf{u}}{\tau }$, dove $m_e$ è la massa del portatore e $\tau$ il tempo medio tra due urti.

La condizione di equilibrio dinamico alla velocità di deriva è quindi:

$e\mathbf{E}-\frac{m_e{\mathbf{u}}_{\mathrm{\infty }}}{\tau }=0$

Risolvendo questa relazione si ottiene una forma microscopica della legge di Ohm, che mette in relazione la velocità di deriva dei portatori con il campo elettrico applicato:

${\overrightarrow{u}}_{\mathrm{\infty }}(\overrightarrow{E})=\mu \overrightarrow{E}$

dove $\mu$ rappresenta la mobilità elettrica, misurata in m²/(V·s) oppure in C·s/kg, e $\overrightarrow{E}$ è il campo elettrico espresso in volt per metro (V/m).

La mobilità può essere espressa come:

$\mu =\frac{e}{m_e}\tau$

da cui si deduce che essa è direttamente proporzionale al tempo medio tra gli urti (detto anche tempo di rilassamento):

$\mu (\tau )\sim \tau$

Bibliografia

• David Griffiths (1999): Introduction to Electrodynamics, Upper Saddle River, NJ, Prentice-Hall, pag. 289 (in inglese)

Voci correlate

• Velocità limite (fluidodinamica)
• Modello di Drude
• Corrente elettrica
• Fenomeni di trasporto

Collegamenti esterni

• Ohm's Law: Microscopic View - Hyperphysics (in inglese)