Funzionale lineare

Una funzionale lineare è una particolare applicazione della matematica (soprattutto nell'algebra lineare e nell'analisi funzionale) che associa a ogni vettore un numero reale (o complesso) in modo lineare.

L'insieme dei funzionali lineari agenti su uno spazio vettoriale $V$ forma a sua volta uno spazio vettoriale, lo spazio duale $\tilde{V}$ (spesso denotato anche con $V^{*}$ o $V^{\prime }$).

In ${\mathbb{ℝ}}^n$, se i vettori sono rappresentati come vettori colonna, i funzionali lineari sono vettori riga, che agiscono sui vettori colonna per mezzo di un prodotto scalare (in generale, una forma sesquilineare) o un prodotto matriciale (tra un vettore riga a sinistra e un vettore colonna a destra). Ad esempio, dati i vettori colonna:

$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]\in {\mathbb{ℝ}}^n$

allora ogni funzionale lineare $f$ può essere scritto in tali coordinate come una somma del tipo:

$f(\mathbf{x})=a_1{x}_1+\cdots +a_n{x}_n$

Si tratta del prodotto matriciale tra il vettore riga $[a_1\dots a_n]$ e il vettore colonna $\mathbf{x}$:

$f(\mathbf{x})=[a_1\dots a_n]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]$

I funzionali lineari sono stati inizialmente introdotti nell'ambito dell'analisi funzionale, in particolare nello studio degli spazi funzionali vettoriali. Un tipico esempio di funzionale lineare è l'operatore integrale di Riemann:

$I(f)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

che è definito sullo spazio vettoriale $C[a,b]$ delle funzioni continue sull'intervallo $[a,b]$ e mappa nel campo dei reali $\mathbb{ℝ}$. La linearità si vede da note proprietà degli integrali:

$I(f+g)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(f(x)+g(x))dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx=I(f)+I(g)$

$I(\alpha f)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\alpha f(x)dx=\alpha \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\alpha I(f)$

I funzionali lineari sono molto utilizzati in fisica.

Voci correlate

• Funzionale
• Spazio di Hilbert
• Matematica
• Algebra lineare

Bibliografia

• Linear Funcional - MathWorld (in inglese)
• Fausto Sacerdote: Operatori lineari - Università di Firenze [ARCHIVIATO]