Funzionale lineare - Cronologia

XalkasSecondo: Creata pagina con "Una '''funzionale lineare''' è una particolare applicazione della matematica (soprattutto nell'algebra lineare e nell'analisi funzionale) che associa a ogni vettore un numero reale (o complesso) in modo lineare. L'insieme dei funzionali lineari agenti su uno spazio vettoriale $V$ forma a sua volta uno spazio vettoriale, lo spazio duale $\tilde{V}$ (spesso denotato anche con $V^$ o $V'$ ). In $\R^n$
2025-12-15T15:20:52Z

Creata pagina con "Una '''funzionale lineare''' è una particolare applicazione della matematica (soprattutto nell'algebra lineare e nell'analisi funzionale) che associa a ogni vettore un numero reale (o complesso) in modo lineare. L'insieme dei funzionali lineari agenti su uno spazio vettoriale <math>V</math> forma a sua volta uno spazio vettoriale, lo spazio duale <math>\tilde{V}</math> (spesso denotato anche con <math>V^</math> o <math>V'</math>). In <math>\R^n</m..."

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Una '''funzionale lineare''' è una particolare applicazione della [[matematica]] (soprattutto nell'[[algebra lineare]] e nell'[[analisi funzionale]]) che associa a ogni [[vettore]] un numero reale (o complesso) in modo lineare.

L'insieme dei funzionali lineari agenti su uno spazio vettoriale <math>V</math> forma a sua volta uno spazio vettoriale, lo [[spazio duale]] <math>\tilde{V}</math> (spesso denotato anche con <math>V^</math> o <math>V'</math>).

In <math>\R^n</math>, se i vettori sono rappresentati come vettori colonna, i funzionali lineari sono vettori riga, che agiscono sui vettori colonna per mezzo di un [[prodotto scalare]] (in generale, una [[forma sesquilineare]]) o un [[Moltiplicazione di matrici|prodotto matriciale]] (tra un vettore riga a sinistra e un vettore colonna a destra). Ad esempio, dati i vettori colonna:

:<math>\mathbf {x} = \begin{bmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_n\end{bmatrix} \in \R^n</math>

allora ogni funzionale lineare <math>f</math> può essere scritto in tali coordinate come una somma del tipo:

:<math>f(\mathbf {x}) = a_1x_1 + \cdots + a_n x_n</math>

Si tratta del prodotto matriciale tra il vettore riga <math>[a_1 \dots a_n]</math> e il vettore colonna <math>\mathbf {x}</math>:

:<math>f(\mathbf {x}) = [a_1 \dots a_n] \begin{bmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_n\end{bmatrix}</math>

I funzionali lineari sono stati inizialmente introdotti nell'ambito dell'analisi funzionale, in particolare nello studio degli [[spazio funzionale|spazi funzionali vettoriali]]. Un tipico esempio di funzionale lineare è l'operatore [[integrale di Riemann]]:

:<math>I(f) = \int_a^b f(x)\, dx</math>

che è definito sullo spazio vettoriale <math>C[a,b]</math> delle [[funzione continua|funzioni continue]] sull'intervallo <math>[a,b]</math> e mappa nel campo dei reali <math>\R</math>. La linearità si vede da note proprietà degli integrali:

:<math>I(f+g) = \int_a^b(f(x)+g(x))\, dx = \int_a^b f(x)\, dx + \int_a^b g(x)\, dx = I(f)+I(g)</math>
:<math>I(\alpha f) = \int_a^b \alpha f(x)\, dx = \alpha\int_a^b f(x)\, dx = \alpha I(f)</math>

I funzionali lineari sono molto utilizzati in [[fisica]].

== Voci correlate ==

[[Funzionale]]
* [[Spazio di Hilbert]]
* [[Matematica]]
* [[Algebra lineare]]

== Bibliografia ==

* [http://mathworld.wolfram.com/LinearFunctional.html Linear Funcional - MathWorld] (in inglese)
* Fausto Sacerdote: Operatori lineari - Università di Firenze [https://web.archive.org/web/20140228065410/http://people.dicea.unifi.it/fausto.sacerdote/dott/operatori.pdf <nowiki>[ARCHIVIATO]</nowiki>]

[[Categoria:Matematica]]